Đieơm nguy hieơm naỉm tređn chu vi, đó là 2 đieơm A, B. Hai đieơm này vừa chịu ứng suât pháp max do mođmen Mu và lực dĩc Nz, vừa chịu ứng suât tiêp max do Mz, phađn tô ở tráng thái ứng suât phẳng: 2 2 max,min ; = ± z ± u = + u x y u M N M M M A W σ (9.27) max = z p M W τ
Đieău kieăn beăn:
Theo thuyêt beăn thứ 3 : 2 2 [ ]
4
+ ≤
σ τ σ
Theo thuyêt beăn thứ 4 : 2 2 [ ]
3
+ ≤
Trang 133 - 177
CÁC VÂN ĐEĂ SINH VIEĐN CAĂN NAĨM VỮNG Ở CHƯƠNG 9 1.
Trang 134 - 177
CHƯƠNG 10: OƠN ĐỊNH CỤA THANH THẲNG CHỊU NÉN 10.1. KHÁI NIEƠM VEĂ SỰ OƠN ĐỊNH CỤA TRÁNG THÁI CAĐN BAỈNG
Đeơ đáp ứng yeđu caău chịu lực bình thường, 1 thanh phại thỏa mãn đieău kieăn beăn và cứng, như đã được trình bày trong các chương trước đađy. Tuy nhieđn, trong nhieău trường hợp, thanh còn phại thỏa mãn theđm đieău kieơn oơn định. Đó là khạ naíng duy trì hình thức biên dáng ban đaău nêu bị nhieêu. Trong thực tê, nhieêu có theơ là các yêu tô sai leơch so với sơ đoă tính như đoơ cong ban đaău, sự nghieđng hoaịc leơch tađm cụa lực tác dúng…
Khái nieơm oơn định có theơ minh hĩa baỉng cách xét sự cađn baỉng cụa quạ caău tređn các maịt lõm, loăi và phẳng tređn H.10.1.
Nêu cho quạ caău 1 chuyeơn dịch nhỏ (gĩi là nhieêu) từ vị trí ban đaău sang vị trí lađn caơn roăi bỏ nhieêu đi thì:
- Tređn maịt lõm, quạ caău quay veă vị trí ban đaău : sự cađn baỉng ở vị trí ban đaău là oơn định.
- Tređn maịt loăi, quạ caău chuyeơn đoơng ra xa hơn vị trí ban đaău : sự cađn baỉng ở vị trí ban đaău là khođng oơn định.
- Tređn maịt phẳng, quạ caău giữ nguyeđn vị trí mới: sự cađn baỉng ở vị trí ban đaău là phiêm định.
Hieơn tượng tương tự cũng có theơ xạy ra Đôi với sự cađn baỉng veă tráng thái biên dáng cụa heơ đàn hoăi. Chẳng hán với thanh chịu nén tređn H.10.2. Trong đieău kieơn lí tưởng (thanh thẳng tuyeơt đôi, lực P hoàn toàn đúng tađm…) thì thanh sẽ giữ hình dáng thẳng, chư co ngaĩn do chịu nén đúng tađm. Nêu cho đieơm đaịt lực P 1 chuyeơn vị béδ do 1 lực ngang nào đó gađy ra, sau đó bỏ lực này đi thì sẽ xạy ra các trường hợp biên dáng như sau:
Nêu lực P< 1 giá trị Pth nào đó, gĩi là lực tới hán, tức là P<Pth, thì thanh sẽ phúc hoăi lái tráng thái biên dáng thẳng. Sự cađn baỉng cụa tráng thái biên dáng thẳng ban đaău được gĩi là oơn định.
Trang 135 - 177
Nêu P>Pth thì chuyeơn vị δ sẽ taíng và thanh bị cong theđm. Sự cađn baỉng cụa tráng thái phẳng là khođng oơn định.
Ứng với P=Pth thì thanh văn giữ nguyeđn chuyeơn vị ……và tráng thái biên dáng cong. Sự cađn baỉng cụa tráng thái phẳng là phiêm định.
Đoă thị quan heơ giữa lực nén P và chuyeơn vị δ được theơ hieơn tređn H.10.2.c. Đieơm B được gĩi la đieơm phađn nhánh. Khi P>Pth thì
dáng cađn baỉng thẳng (δ=0) là khođng oơn định; trong thực tê thanh sẽ chuyeơn vị δ và chuyeơn sang hình thức biên dáng mới bị uông cong, khác trước veă tính chât, bât lợi veă đieău kieơn chịu lực.
Các kêt câu khác nhau đeău có theơ bị mât oơn định như thanh chịu nén, daăm chịu uôn, tâm chịu nén, vỏ chịu nén hoaịc xoaĩn…như minh hĩa tređn H.10.3.
Vieơc nghieđn cứu hieơn tượng oơn định cụa tráng thái biên dáng có ý nghĩa thực tieên quan trĩng. Khi xạy ra mât oơn định dù chư cụa 1 thanh cũng dăn tới sự súp đoơ cụa toàn boơ kêt câu. Tính chât phá hối do mât oơn định là đoơt ngoơt và nguy hieơm. Trong lịch sử ngành xađy dựng đã từng xạy ra những thạm hĩa saơp caău chư vì sự mât oơn định cụa 1 thanh dàn chịu nén như caău Mekhelstein ở Thúy Sĩ (1891), caău Lavrentia ở Mỹ (1907)…Vì vaơt khi thiêt kê caăn phại đạm bạo cạ đieău kieơn oơn định, ngoài đieău kieăn beăn và đieău kieơn cứng đã neđu trước đay.
Vân đeă oơn định kêt câu có noơi dung roơng, trong chương này chụ yêu giới thieơu bài toán oơn định cụa thanh thẳng chịu nén.
Trang 136 - 177
10.2. LỰC TỚI HÁN CỤA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TAĐM 10.2.1. Thanh lieđn kêt khớp 2 đaău: 10.2.1. Thanh lieđn kêt khớp 2 đaău:
Xét thanh thẳng lieđn kêt khớp 2 đaău, chịu nén bởi lực tới hán Pth. Khi bị nhieêu, thanh sẽ bĩ uôn cong trong maịt phẳng có đoơ cứng uôn nhỏ nhât, và cađn baỉng ở hình dáng mới như tređn H.10.4a.
Gĩi đoơ cứng chông uôn trong maịt phẳng uôn cong là EI. Với giạ thiêt vaơt lieơu đàn hoăi tuyên tính và chuyeơn vị bé, ta có phương trình vi phađn đường đàn hoăi:
"= −M
y
EI (10.1)
Trong đó mođmen uôn được xác định từ đieău kieơn cađn baỉng tređn H.10.4b:
= th M P y (10.2) Thê (10.2) vào (10.1) ta có : "= −P yth y EI Hay: "+P yth =0 y EI Đaịt 2=P yth EI α ta thu được: 2 "+ =0 y α y (10.3)
Ngieơm toơng quát cụa (10.3) là :
1cos 2sin
= +
y C αz C αz (10.4)
Các haỉng sô được xác định từ đieău kieơn bieđn y(0)=0 và y(l)=0. Với y(0)=0 Ỵ C1=0
y(l)=0 Ỵ C2sinαl=0
Trang 137 - 177
phương trình này có nghieơm αl=nπ , với n =1, 2, 3,…, hay
2 2 = th n EI P l π (10.5) Trong thực tê, khi lực nén đát đên giá trị tới hán nhỏ nhât theo (10.5) ứng với n=1 thì thanh đã bị cong. Vì vaơt, các giá trị ứng với n > 1 khođng có ý nghĩa. DO đó, cođng thức tính lực tới hán cụa thanh thẳng 2 đaaău lieđn kêt khớp là
2 2 = th EI P l π (10.6) Đường đàn hòi tương ứng có dáng 1 nửa sóng hình sin : y=C2sin z
l
π
với C2 là 1 haỉng sô bé, theơ hieơn đoơ võng giữa nhịp.
10.2.2. Thanh có các lieđn kêt khác
Khi áp dúng phương pháp tređn cho thanh có các lieđn kêt khác nhau ở 2 đaău, người ta thu được cođng thức tính lực tới h án có dáng chung:
2 2 2 = th n EI P l π (10.8) với : n là sô nửa sóng hình sine cụa đường đàn hoăi khi mât oơn định.
Nêu đaịt =1
n
μ , gĩi là heơ sô quy đỏi, thì (10.8) được viêt lái như dưới đađy và được gĩi chung là cođng thức Euler:
( ) 2 2 = th EI P l π μ
Trị sô μl gĩi là chieău dài quy đoơi cụa thanh ( ra sơ đoă lieđn kêt khớp 2 đaău).Dáng mât oơn định và heơ sô μ cụa thanh có lieđn kêt 2 đaău khác nhau theơ hieơn tređn H.10.5.
Trang 138 - 177
10.2.3. Ứùng suât tới hán
Ứùng suât trong thanh thẳng chịu nén đúng tađm bởi lực Pth gĩi là ứng suât tới hán và được xác định theo cođng thức:
( ) ( ) 2 2 2 2 2 = th = = th P EI Er A l A l π π σ μ μ hay 2 2 = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ th th P E A l r π σ μ (10.10) trong đó r= I
A là bán kính quán tính cụa tiêt dieơn trongmp uôn Đaịt = l
r
μ
λ gĩi là đoơ mạnh cụa thanh, thì cođng thức (10.10) trở thành:
2 2 = th E π σ λ (10.11)
Đoơ mạnh λ khođng có thứ nguyeđn, phú thuoơc vào chieău dài thanh, đieău kieơn lieđn kêt và đaịc trưng hình hĩc cụa tiêt dieơn, thanh có đoơ mạnh càng lớn thì càng deê mât oơn định.
10.2.4. Giới hán dùng cụa cođng thức Euler
Cođng thức Euler được xađy dựng tređn cơ sở phương trình vi phađn đường đàn hoăi, vì vaơy chư áp dúng được khi vaơt lieơu còn làm vieơc trong giai đốn đàn hoăi, tức là ứng suât trong thanh nhỏ hơn giới hán tỷ leơ:
Trang 139 - 177 2 2 = ≤ th tl E π σ σ λ hay 2 ≥ tl E π λ σ (10.12) nêu đaịt 2 = o tl E π λ σ (10.13)
thì đieău kieơn áp dúng cụa cođng thức Euler là: λ λ≥ o (10.14) trong đó : λo được gĩi la đoơ mạnh giới hán và là 1 haỉng sô Đôi với moêi lối vaơt lieơu. Chẳng hán : với thép xađy dựng thođng thường λo=100
với goê λo =75; với gang λo =80
Nêu λ λ≥ o thì gĩi là đoơ mạnh lớn. Như vaơy, cođng thức Euler chư áp dúng cho thanh có đoơ mạnh lớn.
Ví dụ : tính Pth vă (th của thanh lăm bằng thĩp CT3, mặt cắt ngang hình chữ I số 22a. thanh cĩ liín kết khớp tại hai đầu (Hình 12-9). Xĩt trường hợp
a) Thanh cao 3m
b) Thanh cao 2,5m. biết E = 2,1.107N/cm2 ; (ch = 24.000N/cm2 ; (0 = 100 Giải :
Mặt cắt chữ I số 22a cĩ : F = 32,4cm2 ; iy = imin = 2,5 cm Theo liín kết của thanh thì m = 1
Xâc định (1: thĩp CT3 cĩ (tra bảng) a = 31000N/cm2 ; b = 114N/cm2 ; c = 0 Vậy (th = a - b.(1 = (ch
a) Khi thanh cao 3m :
Vì ( = 120 > (0 = 100 nín ta dùng cơng thức Ơ le
Trang 140 - 177
Lực tới hạn Pth = (th.F = 14300.32,4 = 463.103N
b) Khi thanh cao 2,25m:
Vì (1 = 61,4 < ( = 90 < (0 = 100 Ta dùng cơng thức Iasinski:
th = a - b. = 31000 - 11490 = 19720N/cm2 Lực tới hạn: Pth = (th.F = 19720.32,4 = 638,9.103N
Trong những phần trình băy ở trín, ta xĩt trường hợp liín kết của thanh lă như nhau trong hai mặt phẳng quân tính chính trung tđm của mặt cắt. Như vậy, khi mất ổn định thanh sẽ cong trong mặt phẳng cĩ độ cứng nhỏ nhất. Trong câc cơng thức tính tôn, ta dùng trị số momen quân tính cực tiểu Jmin vă bân kính quân tính cực tiểuĠ
Trâi lại, nếu liín kết trong hai mặt phẳng quân tính chính trung tđm lă khâc nhau thì sự mất ổn
định của thanh sẽ xảy ra trong mặt phẳng quân tính chính trung tđm năo đĩ cĩ độ mảnh lớn tức (th nhỏ nhất cho nín ta lấy giâ trị ( năo lớn để tính ứng suất vă lực tới hạn.
Chứng minh:
Momen quân tính của mặt cắt ngang đối với trục quân tính chính trung tđm lă nhỏ nhất nín ta chỉ cần so sânh J tức so sânh ( trong hai mặt phẳng trục quân tính chính trung tđm lă đủ.
1. Trong mặt phẳng quân tính chính trung tđm zx
với
mzx : hệ số m phụ thuộc dạng liín kết trong mặt phẳng zx
Trang 141 - 177
Ví dụ:
Cho một cột bằng gỗ thơng cao 7m, mặt cắt ngang hình chữ nhật 12 x 22 cm2 . Trong mặt phẳng cĩ độ cứng nhỏ nhất EJmin hai đầu bị ngăm chặt. Trong mặt phẳng cĩ độ cứng lớn nhất EJmax hai đầu liín kết khớp.
Xâc định lực tới hạn vă ứng suất tới hạn biết E = 9.105N/cm2 ; (0 = 75 (hình 12-10) Giải: Với tiết diện hình chữ nhật ta cĩ
Trong mặt phẳng cĩ độ cứng lớn nhất (hình 12-10b): (zy)
Trong mặt phẳng cĩ độ cứng nhỏ nhất (hình 12-10a): (zx)
Ta thấy (1 > (2 nín khi mất ổn định, cột sẽ cong trong mặt phẳng cĩ độ cứng lớn nhất. Vậy ta dùng (1 để tính Pth vă (th .Ta thấy (1 = 110 > (0 = 75 nín ta dùng cơng thức Ơ le
Vậy Pth = (th.F = 733.12.22 = 194.103N
Trang 142 - 177
10.3 OƠN ĐỊNH NGOÀI MIEĂN ĐÀN HOĂI 10.3.1. ÝÕ nghĩa 10.3.1. ÝÕ nghĩa
Cođng thức Euler chư áp dúng được khi vaơt lieơu đàn hoăi. Đoă thị cụa phương trình (10.11) là 1 hyperbola như tređn H.10.6, chư đúng khi σth≤σtl.
Khi ứng suât tới hán trong thanh lớn hơn giới hán tỷ leơ σtl thì caăn thiêt phại có cođng thức khác đeơ tính lực tới hán. Phaăn ày sẽ giới thieơu 1 sô cođng thức tính lực tới hán naỉm ngoài mieăn đàn hoăi baỉng thực nghieơm và lí thuyêt.
10.3.2. Cođng thức thực nghieơm Iasinski
Cođng thức Iasinski được đeă xuât dựa tređn nhieău sô lieơu thực nghieơm, phú thuoơc vào đoơ mạnh cụa thanh.
- Thanh có đoơ mạnh vừa λ λ λ1≤ ≤ o: áp dúng cođng thức sau
= −
th a b
σ λ (10.15)
với : a và b là các haỉng sô phú thuoơc vaơt lieơu, được xác định baỉng thực nghieơm Thép xađy dựng : a = 33,6kN/cm2
; b = 0,147kN/cm2
Goê : a = 2,93kN/cm2
; b = 0,0194kN/cm2
đoơ mạnh λ1 được xác định từ cođng thức: 1=a− tl
b
σ
λ (10.16)
Trang 143 - 177
- Thanh có đoơ mạnh bé λ λ≤ 1: khi này thanh khođng mât oơn định mà đát đên tráng thái phá hối cụa vaơt lieơu. Vì vaơy, ta coi:
=
th b
σ σ đôi với vaơt lieơu giòn
=
th ch
σ σ đôi với vaơt lieơu dẹo
Chú ý:
Nêu lieđn kêt cụa thanh trong 2 maịt phẳng quán tính giông nhau thì các đái lượng I
và r trong các cođng thức sẽ thay tương đương baỉng Imin và rmin.
Nêu lieđn kêt cụa thanh trong 2 maịt phẳng quán tính khác nhau thì khi mât oơn định thanh sẽ cong trong maịt phẳng có đoơ mạnh lớn và các đái lượng I, r sẽ lây trong maịt phẳng này.
10.3.3. Cođng thức lí thuyêt mođđun tiêp tuyên
Cođng thức tính lực tới hán cho thanh có đoơ mạnh vừa khi vaơt lieơu làm vieơc ngoài mieăn đàn hoăi có theơ thiêt laơp baỉng lí thuyêt. Dưới đađy giới thieơu cođng thức lí thuyêt mođđun tiêp tuyên, được dùng khác phoơ biên vì đơn giạn và cho kêt quạ phù hợp tương đôi tôt với thực nghieơm. Đường cong quan heơđ σ ε− đôi với vaơt lieơu giòn được minh hĩa tređn H.10.7.
Mođđun đàn hoăi tiêp tuyên được định nghĩa là đoơ dôc cụa tiêp tuyên cụa đường cong quan heơ σ ε− : − Et =d
d
σ σ ε
ε (10.18)
Chú ý raỉng, ở ngoài giới hán đàn hoăi mođđun tiêp tuyên là 1 đái lượng phú thuoơc ứng suât Et =Et( )σ ; quy luaơt này được xác định trước baỉng thực nghieơm cho từng lối vaơt lieơu.
Trang 144 - 177
Baỉng cách laơp luaơn giông như múc 10.2.1, nhưng chú ý sự biên thieđn cụa ứng suât khi mât oơn định tương ứng cới mođđun đàn hoăi tiêp tuyên, Engesser đã đi đên cođng thức tương tự như cođng thức Euler nhưng mođđun đàn hoăi E được thay baỉng Et :
( ) 2 2 = t th E I P l π μ (10.19)
Ưùng suât tới hán tương ứng xác định bởi cođng thức:
2 2 = t th E π σ λ (10.20)
10.4 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH OƠN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN 10.4.1. Phương pháp tính 10.4.1. Phương pháp tính
Moơt thanh chịu nén caăn phại thỏa mãn: - Đieău kieăn beăn : = ≤[ ]
n g P A σ σ với [ ] = o n n σ σ
trong đó n : heơ sô an toàn veă beăn
Ag : dieơn tích tiêt dieơn giạm yêu (bị khoét loê), nêu khođng khoét loê thì Ag = A là tiêt dieơn nguyeđn
- Đieău kieơn oơn định: = ≤[ ]
od g P A σ σ trong đó [ ] = th od k σ σ
k : heơ sô an toàn veă oơn định A : dieơn tích tiêt dieơn nguyeđn
Vì sự giạm yêu cúc boơ tái 1 sô tiêt dieơn có ạnh hưởng khođng đáng keơ đên sự oơn định chung cụa thanh.
Do tính chât nguy hieơm cụa hieơn tượng mât oơn định và xét đên những yêu tô khođng tránh được như đoơ cong ban đaău, đoơ leơch tađm cụa lực nén… neđn chĩn k > n, và k thay đoơi phú thuoơc vào đoơ mạnh. Théo xađy dựng có k = 1,8 – 3,5 như minh hĩa tređn H.10.8; gang k = 5 – 5,5; goê k = 2,8 – 3,2.
Trang 145 - 177
Đeơ thuaơn tieơn cho tính toán thực hành, người ta đưa vào khái nieơm heơ sô uôn dĩc hoaịc heơ sô giạm ứng suât cho phép ϕ được định nghĩa như sau:
[ ] [ ] = od = th o n n k σ σ ϕ σ σ 1 < ϕ vì cạ 2 tư sô : th <1 o σ σ và <1 n k
từ đó [ ]σ od =ϕ σ[ ], và đieău kieơn oơn định trở thành =P≤ [ ]n
A σ ϕ σ hay ≤[ ] n P A σ ϕ
Heơ sô ϕ ϕ= [E, ,λ k] được cho ở bạng 10.1
Vì ϕ<1 neđn thường chư caăn kieơm tra đieău kieơn oơn định là đụ. Tuy nhieđn, nêu thanh có giạm yêu cúc boơ do lieđn kêt bulong, đinh tán…thì caăn kieơm tra cạ 2 đieău kieơn beăn và